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Stereographische Projektion:
Die stereographische Projektion ist eine konforme Abbildung der
Oberfläche der Einheitskugel in eine Ebene.
Sie wird i. A. in
Lehrbüchern zur Funktionentheorie
besprochen. Dort finden sich auch die Sätze über die Konformität bzw.
die Tatsache, daß konforme Abbildungen Kreise in Kreise
überführen (Kreistreue). Leider verzichten moderne Darstellungen auf
die Beweise bzw. verlagern sie in Übungsaufgaben.
Privalov gibt 1958
die Beweise an.
Normale Lage: Obwohl sich die Abbildung auch in schiefer (allgemeiner)
Lage berechnen läßt, hat sie normaler Lage Bedeutung erlangt.
Polare Abbildungsgleichungen für das Gebiet um den
Nordpol (der Südpol wird nach Unendlich geworfen):
Die Abbildungsgleichungen lassen sich leicht aus der Skizze
ableiten, wenn man folgende Unterstellungen macht:
Die Einheitskugel sei mit einem Kugelkoordinatensystem mit den
Koordinaten Länge l und Breite b, versehen. Im Nordpol N
(mit der Breite
=
/2)
berührt die Kugel eine
Ebene mit einen Polarkoordinatensystem
( Polarwinkel 
, Radius r),
dessen Ursprung im Berührungspunkt liegt. Ferner liege der Halbebene H, in
der der Nullmeridian der Kugelkoodinaten liegt und die von der Gerade,
die N mit S verbindet, berandet wird, auch der vom
Ursprung ausgehende Strahl mit dem Polarwinkel 0° in
.
Allgemein
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| P |
Punkt auf der Erdoberfläche |
| P' |
Bild dieses Punktes |
| Z |
Streckungszentrum |
| XY |
Äquator |
| NS |
Erdachse |
|
Bildtafel |
| K |
Erdkugel |
|
Breite |
| M |
Mittelpunkt |
|
Um den Punkt P auf der Kugeloberfläche abzubilden, wird der vom
Südpol S ausgehende Strahl
durch P mit geschnitten. Der Schnittpunkt P' ist das gesuchte Bild
des Kugelpunktes P. Der Winkel YMP ist seine Breite . Da der Winkel
NSP halb so groß ist wie der Winkel NMP, folgt:
Formeln
|
|
, r: Polarkoordinaten in der Bildebene
 , : geografische Länge und Breite
|
Die Projektion eignet sich zur Darstellung der Gebiete um den Pol und stellt
damit eine Ergänzung zur ebenfalls konformen
Mercatorabbildung dar.
Die Längenverzerrungen sind abhängig von ß. Die
stereographische Abbildung
der Einheitskugel auf die Ebene ist am Pol längentreu, sie wächst
mit steigendem Abstand des Punktes P zum Pol. Um bei kartographischen
Anwendungen
die maximale Verzerrung zu verringern, verschiebt man E geringfügig
parallel in Richtung
Kugelmittelpunkt M. Damit wird die Abbildung auf einem Breitenkreis
längentreu.
Streographische Abbildung der Nordhalbkugel
Eine Abbildung in Druckqualität (DIN A4, Postscript, GNU-gezipt)
wird hier bereitgestellt. |
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Transversale und schiefe Lage sind bei selbstverständlich
auch
bei der
stereographischen Abbildung möglich.
Damit eignet sie sich zur Abbildung
kreisförmiger Gebiete.
Transversale stereographische Projektion
Mittelpunkt 30°Ost, 0°Nord
|
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Historisches:
Anwendungen:
- UPS:
Auf einer stereographischen Projektion mit einem
Skalierungsfaktor k = 0,994 am Hauptpunkt wird in Analogie zu
dem UTM System für die Polarregionen (südlicher als 80°S und
nordlicher als 84°N) das Universal Polar Stereographic Gitter (UPS)
eingeführt.
Projektion: Der Skalierungsfaktor ist auf Breitenkreisen konstant und
dient wie bei Schnittzylinderabbildungen
zur Verringerung der Maximalverzerrungen. Der Kreis mit etwa 81°07' Breite
wird
in wahrer Größe abgebildet, die Verzerrung wächst auf 1.0016076 bei 80°00'
und errreicht einen Maximalwert von 1.0023916 bei 79°30' Breite
(Überlappungszone zu den Darstellungen mit UTM-Koordinaten).
UPS-Koordinaten:Das UPS-Gitter besteht analog zum UTM-Netz aus
Quadraten. Es läßt sich damit nicht direkt aus benutzten Kartenprojektion
ableiten. Die Maschenweite des Netzes beträgt 100km (?), die Bezeichnung der
Maschen kann dem Dokument von P. Dana (s.u.) entnommen werden.
Beispiel: WGS-84 (85:40:30,0 N, 85:40:30,0 O) entspricht den
UPS-Koordinaten ZGG7902863771 .
Verweise:
-
Mit ellipsoidischen Daten wird sie in normaler
Lage zur Darstellung der Polgebiete bei der
Internationalen Weltkarte benutzt.
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http://www.informatik.uni-leipzig.de/~sosna/karten/stereograph.html
Hinweise zur Seite an
D. Sosna
. 25.07.1999.