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1. Koordinatensysteme


1.1 Gestalt und "Radius" der Erde

Einführung
Die reale Gestalt der Erde ist die eines unregelmäßig Körpers und Gegenstand subtiler Untersuchungen mit Hilfe moderner Fernerkundungsverfahren.
Bei kleinmaßstäblichen Darstellungen wird die Gestalt der Erde i.A. durch eine Kugel genähert. Schon im Altertum gingen die Gelehrten von einer Kugelgestalt der Erde aus (Pythagoras, um 500 v.Chr.).
Newton unterstellte wegen der durch die Erdrotation auftretenden Zentrifugalkäfte ein an den Polen abgeplattetes Rotationsellipsoid. 1735 wurden in Frankreich Expeditionen in das heutige Ekuador und nach Lappland beschlossen, um sowohl Äquatornähe als auch in Polnähe die Länge eines Breitengrades zu bestimmen. Die Messungen, die sich zwar später als ungenau herausstelten, lieferten den Nachweis einer Erdabplattung. Deshalb wird in einer verbesserten Näherung die Gestalt der Erde durch ein Rotationsellipsoid durch Angabe der Halbachsen a,b oder durch Angabe der großen Halbachse a und der Abplattung f mit f = (a-b)/a beschrieben. Für das Erdellipsoid des "World Geodetic System 1984" (WGS-84) werden dabei die folgenden Werte angegeben:
a = 6 378 137,0 m
f = 1 / 298,257223563
Es wurden bzw. werden in der Geodäsie eine Vielzahl weiterer Ellipsoide als Bezugskörper benutzt. Übersichten gibt P.H. Dana, University of Colorado. Das WGS-84 spielt insofern eine ausgezeichnete Rolle, als das "Global Positioning System" (GPS) sich darauf abstützt.

Ersatzkugel
Die geringe Abplattung des Rotationsellipsoids legt die Frage nahe, ob es durch eine Kugel angenähert werden kann. Dabei muß unterschieden werden zwischen der Näherung für einen Ausschnitt oder für das Gesamtellipsoid. Letzteres ist möglich, wenn es sich um große Ausschnitte der Ellipsoidoberfläche bei kleinen Kartenmaßstäben handelt. Der rechnerische Wert des Radius einer Näherungskugel wird für das Gesamtellipsoid durch Mittelwertbildung über die Halbachsenlängen berechnet:

Geometrisches Mittel: (Bei diesem Vorgehen sind die Volumina des Ellipsoids und der Kugel gleich.)

r = 6 371 001 m.

Arithmetisches Mittel:
r = 6 371 009 m.

Auf Grund des geringen, bei kleinmaßstäblichen globalen Abbildungen unbedeutenden Unterschieds kann der Erdradius für orientierende Betrachtungen zu
r = 6 371 km.
angenommen werden.
Es ist zu beachten, daß sich Kugel und Ellipsoid signifikant durch ihr Krümmungsverhalten unterscheiden. Diese Unterschiede wirken sich deutlich in den geographischen Koordinaten aus, deshalb wird i.a. in der Landesvermessung kein Gebrauch von der Näherung durch Kugeln gemacht.
Sollen hingegen kleinere Teile der Erdoberfläche in einem größeren Maßstab dargestellt werden, kann aus den Angaben über das darzustellende Gebiet der Radius der "Gaußschen Kugel" berechnet werden, die sich dort als güstigste Bildkugel erweist. Diese Kugel berührt das Ellipsoid in einem Punkt P, ihr Radius ist gleich dem geometrischen Mittel der beiden Hauptkrümmungshalbmesser des Ellipsoids in dem Punkt P. Die so konstruierte Kugel realisiert eine besonders gute Berührung der Kugel (2. Ordnung)
Von dem Astronomen
J.H. Soldner wurde eine weitere Ersatzkugel vorgeschlagen, deren Radius gleich dem Querkrümmungshalbmesser ist. Obwohl die damit konstruierte Kugel das Ellipsoid in einem Breitenkreis berührt, liefert die Gaußkugel eine differentialgeometrisch bessere Näherung.

Geoid
Die unregelmäßige Gestalt der Erde, auch als Geoid bezeichnet, läßt sich durch ein Höhenfeld über einem Referenzellipsoid näherungsweise beschreiben. Bezüglich des Referenzellipsoids WGS-84 beträgt die Höhenabweichung bis +70/-100m.

Mehr über das Geoid und die Festlegung des Refenzellipsoids

1.2 Geographische Koordinaten

- sind die auf der Erde gemessenen Koordinaten geographische Länge ,geographische Breite und die Höhe.

1.3 Andere Koordinatensysteme

Neben den geographischen Koordinaten sind noch andere Koordinatensysteme auf der Oberfläche des Referenzkörpers in Benutzung: Ein Hauptbestandteil geodätischer Berechnungen ist die wechselseitige Überführung geographischer, rechtwinkliger und polarer Koordinaten auf einer Bezugsfläche.

Literaturhinweis:

M. Bauer gibt im einführenden Kapitel 1 seines Buches "Vermessung und Ortung mit Satelliten" (Bibliogr. Angaben) eine Einführung in Modelbildung zur Figur der Erde, zur Erdmessung im Satellitenzeitalter und zu den Referenzsystemen / Koordinatendefinitionen der Geodäsie.


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Hinweise zur Seite an D. Sosna . 15.07.1999.