Praktikum an der Universität Leipzig, Fakultät für Matematik und Informatik
28.04.2003 bis 09.05.2003
Florian Borchardt und Stephan Max
Implementation eines Transformationsschemas zur Erstellung eines Dodekaederschaumes mittels Mathematica
Was ist ein Dodekaeder?
Ein Dodekaeder ist ein Körper mit 12 Flächen, 20 Ecken und 30 Kanten.
Was ist ein Dodekaederschaum?
Ein Schaum ist gleichzusetzen mit einem dreidimensionalen Fraktal, was ich zuerst zuerst anhand des Quadrats erklären möchte.
Was ist das Implementieren des Transformationsschemas?
Unsere Aufgabe war das Schreiben einer Routine, die den Dodekaeder zerlegt und die Bruchstücke herrausfiltert um dann den Dodekaederschaum graphisch darzustellen.
Was ist Mathematica?
Die Zerschneidung:
Man zerschneidet den Dodekaeder 12mal an bestimmten Kanten,
wobei ein kompletter Schnitt, weniger als die Hälfte des Dodekaeders abschneidet,
damit ein einziger Dodekaeder in der Mitte übrig bleiben kann.
Es entstehen 5 verschiedene Bruchstücke und insgesamt 165 Teile:
1 kleiner Dodekaeder
12 kleine Fünfeckspyramiden
30 kleine Tetraeder
20 Doppeltetraeder
30mal eine Figur ohne Namen mit 6 Ecken, 8 Flächen und 12 Kanten
60 große Tetraeder
12 große Fünfeckspyramiden
Ein Quadrat kann man verschieden zerschneiden sodass immer wieder Quadrate entstehen. Beim Dodekaeder gestaltet sich das allerdings schwieriger, da ein Dodekaeder nicht nur aus Dodekaedern besteht. Dennoch kann man den Dodekaeder zerschneiden sodass wieder Dodekaeder entstehen. Wenn man dann die Bruchstücke herausfiltert ergeben die Dodekaeder den Schaum.
Ein Quadrat
4 Quadrate
16 Quadrate
64 Quadrate
...und so weiter
Eine andere Möglichkeit:
9 Quadrate
36 Quadrate
144 Quadrate
...und so weiter
Eine ander Möglichkeit
Ausgangsquadrat
Eine Iteration
Vier Iterationen
...und so weiter
Der kleine Dodekaeder bzw. D-Stück
Die Fünfeckspyramide bzw. H-Stück
Der Tetraeder bzw. W-Stück
Der Doppeltetraeder bzw. S-Stück
Die Figur mit 6 Ecken, 8 Flächen und 12 Kanten bzw. C-Stück
Der Dodekaeder
12 Funfüeckspyramiden auf jede Dodekaederfläche
Einsetzen von 30 kleinen Tetraedern
Einpassen von 20 Doppeltetraedern
Hinzukommt 30mal die "Figur ohne Namen"
Und zum Schluss noch 60 große Tetraeder und 12 große Fünfeckspyramiden
Insgesamt 165 Teile
Download: Gesamt.nb (729 Kilobytes)
Quelle: Dodecafoam and substition tilings, Chaim Goodmann-Strauss
Leipzig 2003