Praktikum an der Universität Leipzig, Fakultät für Matematik und Informatik

28.04.2003 bis 09.05.2003

Florian Borchardt und Stephan Max

Implementation eines Transformationsschemas zur Erstellung eines Dodekaederschaumes mittels Mathematica

Die Aufgabenstellung

Das "Quadrat-Fraktal"

Die Bruchstücke

Die Ersetzung

Der fertige Dodekaeder-Schaum


Die Aufgabenstellung

Was ist ein Dodekaeder?

Ein Dodekaeder ist ein Körper mit 12 Flächen, 20 Ecken und 30 Kanten.

Was ist ein Dodekaederschaum?

Ein Schaum ist gleichzusetzen mit einem dreidimensionalen Fraktal, was ich zuerst zuerst anhand des Quadrats erklären möchte.

Was ist das Implementieren des Transformationsschemas?

Unsere Aufgabe war das Schreiben einer Routine, die den Dodekaeder zerlegt und die Bruchstücke herrausfiltert um dann den Dodekaederschaum graphisch darzustellen.

Was ist Mathematica?

Die Zerschneidung:

Man zerschneidet den Dodekaeder 12mal an bestimmten Kanten, wobei ein kompletter Schnitt, weniger als die Hälfte des Dodekaeders abschneidet, damit ein einziger Dodekaeder in der Mitte übrig bleiben kann.
Es entstehen 5 verschiedene Bruchstücke und insgesamt 165 Teile:

1 kleiner Dodekaeder
12 kleine Fünfeckspyramiden
30 kleine Tetraeder
20 Doppeltetraeder
30mal eine Figur ohne Namen mit 6 Ecken, 8 Flächen und 12 Kanten
60 große Tetraeder
12 große Fünfeckspyramiden

Das "Quadrat-Fraktal"

Ein Quadrat kann man verschieden zerschneiden sodass immer wieder Quadrate entstehen. Beim Dodekaeder gestaltet sich das allerdings schwieriger, da ein Dodekaeder nicht nur aus Dodekaedern besteht. Dennoch kann man den Dodekaeder zerschneiden sodass wieder Dodekaeder entstehen. Wenn man dann die Bruchstücke herausfiltert ergeben die Dodekaeder den Schaum.

Ein Quadrat

4 Quadrate

16 Quadrate

64 Quadrate

...und so weiter

Eine andere Möglichkeit:

9 Quadrate

36 Quadrate

144 Quadrate

...und so weiter

Eine ander Möglichkeit

Ausgangsquadrat

Eine Iteration

Vier Iterationen

...und so weiter

Die Bruchstücke

Der kleine Dodekaeder bzw. D-Stück

Die Fünfeckspyramide bzw. H-Stück

Der Tetraeder bzw. W-Stück

Der Doppeltetraeder bzw. S-Stück

Die Figur mit 6 Ecken, 8 Flächen und 12 Kanten bzw. C-Stück

 

Die Ersetzung

Der Dodekaeder

12 Funfüeckspyramiden auf jede Dodekaederfläche

Einsetzen von 30 kleinen Tetraedern

Einpassen von 20 Doppeltetraedern

Hinzukommt 30mal die "Figur ohne Namen"

Und zum Schluss noch 60 große Tetraeder und 12 große Fünfeckspyramiden

Insgesamt 165 Teile

Der fertige Dodekaeder-Schaum

Download: Gesamt.nb (729 Kilobytes)

Quelle: Dodecafoam and substition tilings, Chaim Goodmann-Strauss

Leipzig 2003