Riemannsche Zeta-Funktion ]


Reihen

Eine Reihe ist eine Kette von beliebig vielen Summanden. Solch eine Reihe wird durch das Summenzeichen Summenzeichen ausgedrückt. Über dem Summenzeichen steht die Anzahl der Kettenglieder; unter dem Summenzeichen der Startwert des Nenners und dahinter die Form der Summanden. Eine Reihe könnte beispielsweise wie folgt aussehen:

4 -   =  1+ - + - + -
Summenzeichen 1  1   1   1 
n 2 3 4
n=1 - - - -

Ich habe mich einer bestimmten Reihen beschäftigt. Sie wird als Riemannsche Zeta-Funktion bezeichnet:

- -   =  1+ - + - + - +   ....
Z(s) =  Summenzeichen 1  1   1   1 
ns 2s 3s 4s
- n=1 - - - -

Dazu habe ich ein Programm geschrieben, welches diesen Vorgang bis zu einem Schwellenwert automatisch durchführt. Es wurde addiert, bis die Summanden den Schwellenwert von 10-12 unterschritten. Die Summe nähert sich dabei einem bestimmten Wert an und kommt irgendwann kaum noch "voran". Wenn die Summanden den Schwellenwert unterschritten hatten, wurde die Summe als Näherungswert akzeptiert.

Folgendes Diagramm zeigt die Gesamtsumme der Reihe für s=2 jeweils nach dem Dazuaddieren der nächsten Teilsumme:

Anstieg der Teilsummen

Es fällt deutlich auf, dass der Wert nach Dazuaddieren der Teilsummen irgendwann immer mehr zu einer Zahl hinläuft, d.h. die Reihe konvergiert zu dieser Zahl hin. In diesem Fall beträgt die Zahl, zu der die Reihe konvergiert, Pi/6 bzw. ca. 1,64493...

Kennt man die Zahl, zu der die Summe konvergiert und ist der Exponent s eine gerade Zahl, so kann man diese Zahl auch folgendermaßen ausdrücken:

(Pi^s) / (m(s)) = Summe

Um auf m(s) zu kommen, muss die Formel umgestellt werden:

(Pi^s) / (Summe) = m(s)

Somit kann das Ergebnis einfacher als Bruch ausgedrückt werden.

 

Das Programm "reihen":

Jeder Summand wird über eine Schleife berechnet, die abgebrochen wird, wenn der Summand kleiner als der Schwellenwert ist. Der Exponent s wird durch den Benutzer bestimmt:

solange der Summand größer ist als 10-12
summand = 1/ns
summe = summe+summand
n = n+1

 

Der Summand wird berechnet und zur Summe dazuaddiert. Danach wird n um 1 erhöht und das ganze beginnt von vorn;

so lange, bis der Summand kleiner oder gleich 10-12 ist. Das Ergebnis wird anschließend auf dem Bildschirm ausgegeben.

 

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