Komplexe Zahlen
Die Lösung der Gleichung x² = -1 ist keine reelle Zahl, da das Quadrat einer reellen Zahl nie negativ sein kann. Will man die Gleichung nun nach x1 auflösen, so zieht man die Quadratwurzel aus -1. Man definiert i = Quadratwurzel aus -1 als die "Imaginäre Einheit". Somit kann man die Quadratwurzel aus negativen Zahlen ziehen:
Eine komplexe Zahl besteht aus zwei Teilen: dem Realteil (Re) und dem Imaginärteil (Im). Es existieren verschiedene Schreibweisen, um komplexe Zahlen darzustellen. Die wohl gebräuchlichste ist diese Form:
z = Re(z) + i * Im(z)
Für das obige Beispiel 3i wäre die exakte Schreibweise also 0 + 3i. Jede reelle Zahl kann als komplexe Zahl geschrieben werden, indem der Imaginärteil praktisch weggelassen wird: 8 = 8 + 0i.
Eine andere Schreibweise für komplexe Zahlen ist die "Paarschreibweise": Der Real- und Imaginärteil wird einfach als Zahlenpaar geschrieben:
z = (Re, Im)
Für z = 2 + 8i wäre das also z = (2, 8). Für die reelle Zahl 5 wäre die Paarschreibweise logischerweise z = (5, 0) und für 3i folgt z = (0, 3).
Da eine komplexe Zahl aus einem Zahlenpaar (Re, Im) besteht, lässt sie sich weder auf einem Zahlenstrahl darstellen noch lassen sich komplexe Zahlen vergleichen (<, >, =) Aufgrund des Zahlenpaares kann man komplexe Zahlen jedoch in einem speziellen Koordinatensystem - der "komplexen Ebene" - darstellen. Der Realteil entspricht hierbei der x-Koordinate, der Imaginärteil der y-Koordinate.
Der Betrag einer komplexen Zahl
Komplexe Zahlen lassen sich in einem Koordinatensystem darstellen. Der Betrag der komplexen Zahl z stellt den Abstand zum Nullpunkt des Koordinatensystems dar:
Der Betrag dieser komplexen Zahl (z = Re + i*Im) lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:
Die imaginäre Einheit i fällt hierbei also heraus. Für das obige Beispiel wäre der Betrag also
Multiplikation komplexer Zahlen
Es sind die beiden komplexen Zahlen z1 = a + i*b und z2 = c + i*d gegeben und sollen miteinander multipliziert werden. Dies geschieht wie gewohnt und unter Beachtung, dass i² die negative Zahl -1 ist:
z1 * z2 = (a + i*b) * (c + i*d) = a*c + i*a*d + i*b*c + i²*b*d = a*c - b*d + i*(a*d + b*c)
Allgemein kann man also sagen, dass das Produkt zweier komplexer Zahlen wieder eine komplexe Zahl der Form (a*c - b*d) + i * (a*d + b*c) ist.
Das reicht für's erste. Um Mandelbrotmengen darstellen zu können reicht die Berechnung des Betrages einer komplexen Zahl und die Bildung des Produktes zweier komplexer Zahlen.
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