Komplexe Zahlen


Die Lösung der Gleichung x = -1 ist keine reelle Zahl, da das Quadrat einer reellen Zahl nie negativ sein kann. Will man die Gleichung nun nach x1 auflösen, so zieht man die Quadratwurzel aus -1. Man definiert i = Quadratwurzel aus -1 als die "Imaginäre Einheit". Somit kann man die Quadratwurzel aus negativen Zahlen ziehen:

SQRT(-9) = SQRT(-1) * SQRT(9) = SQRT(-1) * 3 = 3i

Eine komplexe Zahl besteht aus zwei Teilen: dem Realteil (Re) und dem Imaginärteil (Im). Es existieren verschiedene Schreibweisen, um komplexe Zahlen darzustellen. Die wohl gebräuchlichste ist diese Form:

z = Re(z) + i * Im(z)

Für das obige Beispiel 3i wäre die exakte Schreibweise also 0 + 3i. Jede reelle Zahl kann als komplexe Zahl geschrieben werden, indem der Imaginärteil praktisch weggelassen wird: 8 = 8 + 0i.

Eine andere Schreibweise für komplexe Zahlen ist die "Paarschreibweise": Der Real- und Imaginärteil wird einfach als Zahlenpaar geschrieben:

z = (Re, Im)

Für z = 2 + 8i wäre das also z = (2, 8). Für die reelle Zahl 5 wäre die Paarschreibweise logischerweise z = (5, 0) und für 3i folgt z = (0, 3).

Da eine komplexe Zahl aus einem Zahlenpaar (Re, Im) besteht, lässt sie sich weder auf einem Zahlenstrahl darstellen noch lassen sich komplexe Zahlen vergleichen (<, >, =) Aufgrund des Zahlenpaares kann man komplexe Zahlen jedoch in einem speziellen Koordinatensystem - der "komplexen Ebene" - darstellen. Der Realteil entspricht hierbei der x-Koordinate, der Imaginärteil der y-Koordinate.

 

Der Betrag einer komplexen Zahl

Komplexe Zahlen lassen sich in einem Koordinatensystem darstellen. Der Betrag der komplexen Zahl z stellt den Abstand zum Nullpunkt des Koordinatensystems dar:

Betrag einer komplexen Zahl

Der Betrag dieser komplexen Zahl (z = Re + i*Im) lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

|z| = SQRT(Re + Im)

Die imaginäre Einheit i fällt hierbei also heraus. Für das obige Beispiel wäre der Betrag also

|z| = SQRT(1 + 2) = SQRT(1 + 4) = SQRT(5)

 

Multiplikation komplexer Zahlen

Es sind die beiden komplexen Zahlen z1 = a + i*b und z2 = c + i*d gegeben und sollen miteinander multipliziert werden. Dies geschieht wie gewohnt und unter Beachtung, dass i die negative Zahl -1 ist:

z1 * z2 = (a + i*b) * (c + i*d)   =   a*c  +  i*a*d  +  i*b*c  +  i*b*d   =  a*c - b*d + i*(a*d + b*c)

Allgemein kann man also sagen, dass das Produkt zweier komplexer Zahlen wieder eine komplexe Zahl der Form (a*c - b*d) + i * (a*d + b*c) ist.


Das reicht für's erste. Um Mandelbrotmengen darstellen zu können reicht die Berechnung des Betrages einer komplexen Zahl und die Bildung des Produktes zweier komplexer Zahlen.

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