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\title{Überlegungen zu Geld, Kredit und Wirtschaftswachstum}

\author{Peter Fleissner (Version 31.12.2007)}

\begin{document}

\maketitle

\section*{Zusammenfassung}
Dieser Aufsatz wurde durch einen Informations- und Diskussionsabend am
7.~Dezember 2007 im Österreichischen Wirtschafts- und Gewerbemuseum in Wien
inspiriert, an dem Hans Christoph Binswanger sein Buch {\glqq}Die
Wachstumsspirale ?- Geld, Energie und Imagination in der Dynamik des
Marktprozesses{\grqq} (Metropolis 2006) in einem Vortrag über {\glqq}Wachstum,
Geld und Nachhaltigkeit{\grqq} vorstellte, der von Dr. Raimund Dietz und
Dr. Fred Luks kommentiert wurde (Moderation: Fritz Hinterberger). Das Aufsatz
hat die Aufgabe, mir im Rahmen der Marx'schen Arbeitswerttheorie und seiner
Reproduktionsschemata meine eigene Position zu Geld und Kredit in einer
wachsenden Wirtschaft klar zu machen. Mit den Ergebnissen des Aufsatzes ist es
möglich, bei Vorhandensein eines Bankensektors bestimmter Größe und gegebener
Matrix A und C der technischen bzw. der Konsumkoeffizienten das mögliche
gleichgewichtige Wirtschaftswachstum und den Zinssatz zu berechnen. Die vielen
Quellen, die dabei eingeflossen sind, zitiere ich hier nicht im Einzelnen.

\section*{Einleitung}
Wie schon Rosa Luxemburg aufmerksam gemacht hat, benötigt die Marx'sche
erweiterte kapitalistische Reproduktion für ihr Funktionieren {\glqq}eine
Erweiterung der zahlungsfähigen Nachfrage nach Waren{\grqq}. Sie fragt sich zu
Recht: {\glqq}Wo rührt nun die ständig wachsende Nachfrage her, die der
fortschreitenden Erweiterung der Produktion im Marxschen Schema zugrunde
liegt?{\grqq}1. Sie sucht die Lösung in der Existenz von "'dritten Personen': :
Beamte, liberale Berufe, Geistliche usw.". (a.a.O. S. 297), im
"nichtkapitalistischen Milieu" (a.a.O. S. 314) des "inneren und auswärtigen
Absatzmarktes" (a.a.O. S. 315).

Wie ich weiter unten zeigen werde, benötigt nicht nur die erweiterte, sondern bereits die einfache Reproduktion "zahlungsfähige Nachfrage", d.h. Nachfrage, die mit Geld bezahlt wird. Aber woher kommt das Geld? Meiner Interpretation nach sind es Kredite, die sowohl die einfache Reproduktion als auch ein Wirtschaftswachstum, das auf einer Ausweitung der Produktionsmittel und Arbeitskräfte basiert, und die damit verbundenen Tauschbeziehungen von Geld gegen Ware (G ? W) und umgekehrt (W ? G) ermöglichen. Kredite können durch die Institution der Bank vergeben werden. Sie hat das Recht, finanzielle Mittel entweder auf der Basis der Geldschöpfung (eventuell, aber nicht notwendigerweise gegen eine materielle Sicherstellung von stillliegendem Vermögen) oder durch Weitergabe von vorhandenen Einlagen an die Kreditnehmer (die tatsächlich zum großen Teil als Sichtguthaben bei der Bank verbleiben oder bald wieder in den Bankensektor zurückkehren) gegen ein Kompensation ? Zinszahlungen ? zu verleihen oder umgekehrt Einlagen der Kunden anzunehmen, für die die Bank Zinsen zahlt. Aus der Zinsdifferenz finanziert sich die Bank. Ich versuche im Folgenden, diese Überlegungen in das Schema der erweiterten Reproduktion a la Marx einzubauen, das ich später zu einem Leontief'schen Input-Output Schema verallgemeinere. 

Zunächst das Grundschema mit zwei Abteilungen (MEW Bd 24, Das Kapital, Bd 2, S. 505ff)
c1 + v1 + m1 = w1 (Abteilung 1, Investitionsgüterabteilung)
c2 + v2 + m2 = w2 (Abteilung 2, Konsumgüterabteilung)

Zum Unterschied von Marx, der an manchen Stellen Geld als materielles Produkt (Goldware) aufgefasst und folgerichtig einen Sektor der Geldproduktion angenommen hat, baue ich an dieser Stelle explizit einen Bankensektor ein, der Einlagen annimmt und Kredite vergibt, beides gegen Zinsen. Der Bankensektor muss aus den Zahlungen für die Kreditzinsen (die aus dem Mehrwert m1 und m2 stammen) finanziert werden. 

Geht man davon aus, dass in der Praxis von den Banken das konstante fixe Kapital cf als Sicherheit für einen Kredit herangezogen werden kann, könnte ziemlich sicher ein hinreichend hoher Kredit gegeben werden, wie er für den Ankauf von Produktions- und Konsummittel nötig wäre: 

cf1 >= c1, cf2 >= c2

Die folgenden Überlegungen gehen von den vereinfachenden Annahme der Periodizität und Synchronizität aus, dass die Umschlagzeit des Kapitals für beide Abteilungen 1 Jahr (oder irgend eine andere konstante Zeitperiode) betragen soll. Der Kauf und Verkauf soll in der Fantasie kurz nach Beginn eines Vermarktungs- und Produktionszyklus (etwa einem Kalenderjahr) erfolgen, die Produktion kurz vor seinem Ende. Wir betrachten den dynamischen Prozess der erweiterten Reproduktion zum ersten Jänner, also zu jenem Zeitpunkt, zu dem die Produktion des vorherigen Zyklus in beiden Sektoren abgeschlossen ist , d.h. zu dem bei den Unternehmern alle Werte in Waren (als Sachkapital) vorliegen. Der (potentielle) Wert der Waren soll der enthaltenen Arbeitszeit (w1 bzw. w2) entsprechen. Dem Kauf der Waren liegen entsprechende Geldflüsse zugrunde, die erst ab dem Moment der abgeschlossenen Produktion verfolgt werden. Es wird angenommen, dass die entsprechenden Geldmengen für die vorher nötigen Transaktionen vorhanden waren. 

Die  Methode, die ich hier verwende, geht davon aus, dass die erweiterte Reproduktion vom Moment der vollendeten Produktion au solange verfolgt wird, bis wieder der gleiche Zustand eingetreten ist (alles Kapital liegt wieder in Warenform vor), allerdings auf erweiterter Stufenleiter (W ? G ? W ? W'). Es wird also ein ganzer Produktionszyklus  durchlaufen. Dabei gibt es zwei komplett trennbare Prozesse: 
Der erste Prozess (W ? G ? W) geht von zwei Abteilungen aus (implizite Vereinfachung: je Abteilung gibt es nur je eine kapitalistische Unternehmung). Zu Beginn liegt das Kapital der Kapitalisten in Gebrauchswertsform vor, deren Tauschwert w1 bzw. w2 ist. Das erste W symbolisiert dabei die Gebrauchswerte von Produktionsmitteln bzw. Konsummitteln nach erfolgter Produktion in beiden Abteilungen, die durch Käufe und Verkäufe gegen Geld über den Markt so alloziert werden, dass sie den Produktionserfordernissen der laufenden Periode entsprechen, also dem physisch vorgeschossenen Kapital (zweites W) vom gleichen Wert w1 + w2 wie vorher, nur anderen Eigentümern zugeordnet und anders zusammengesetzt. 
Im zweiten Prozess (W ? W') werden in den beiden Abteilungen aus Waren im Wert w1 bzw. w2 ohne Intervention des Marktes (d.h. ohne Geldvermittlung) mehr Waren im Wert von w1' bzw. w2' (also Waren W') hergestellt. 

Der Einfachheit halber nehme ich an, dass die Unternehmen zu Beginn des ersten Prozesses keine Geldmittel zur Verfügung haben (Wir könnten auch eine bestimmte Geldmengenverteilung annehmen, welche die Kredithöhe verringern würde, was aber am Prinzip der Kreditvergabe nichts ändern würde). 

Im Folgenden sollen beide Prozesse im Detail betrachtet werden.

Zu Beginn des ersten Prozesses besitzt Kapitalist 1 also ausschließlich Produktionsmittel vom Wert w1, die in seinem Unternehmen hergestellt wurden, und Kapitalist 2 sitzt vor einem Berg von Konsummitteln im Wert von w2, die in seinem Betrieb erzeugt wurden. Nun kann die Verwandlung von Ware in Geld so vor sich gehen, dass die Kapitalisten an die jeweils andere Abteilung Produktionsmittel bzw. Konsummittel verkaufen. Die Käufer benötigen dazu Geld. Kapitalist 1, der für seine Arbeiter Konsummittel benötigt, gibt Geld in der Höhe v1' = [v1 (1 + g) ] für Konsummittel aus, wobei g die Wachstumsrate darstellen soll, die erwartet wird. Er kauft daher im Wert gv1 Konsumgüter vom Kapitalisten 2, und vom eigenen Sektor c1' = [c1 (1 + g)].  Durch die vereinfachende Annahme, dass die einzelnen Abteilungen nur aus je einer Unternehmung bestehen, wird die Höhe des notwendigen Kredits vom Bankensektor auf ein Minimum beschränkt (da der Erwerb von Produktionsmitteln für Abteilung 1 in Naturalform erfolgt, also kein Geld nötig ist). Diese Einschränkung wird später wieder aufzugeben sein.

Abteilung 1 hat daher zu Beginn der Produktionsperiode Produktionsmittel im Wert von c1' und Konsumgüter im Wert von v1' zur Verfügung, mit denen sie neue Produktionsmittel im theoretischen Wert von w1' = [w1 (1+g)] herstellen kann, also um m1' = [m1 (1+g)] mehr als in der Vorperiode hergestellt wurde. 

Abteilung 2 muss entsprechend von Abteilung 1 Produktionsmittel im Wert von c2' =  [c2  (1 + g)] kaufen und Konsummittel im Wert von v2' = [v2 (1 + g)] von sich selbst (wieder nehme ich an, dass der Erwerb der Konsummittel aus der eigenen Abteilung geldlos vor sich gehen soll). 

Wird mit Hilfe des vorgeschossenen Kapitals in Warenform im Wert von c1' + v1' bzw. c2' + v2' und bei invarianter technischer und organisatorischer Situation in den Betrieben produziert, ergibt sich folgendes Schema:

c1' + v1' + m1' = w1' (Investitionsgüterabteilung)
c2' + v2' + m2' = w2' (Konsumgüterabteilung)

wobei die Arbeitskräfte nun ein Mehrprodukt im theoretischen Wert von m1' bzw. m2' herstellen, das jeweils um den Faktor (1+g) größer ist als in der Vorperiode.

Damit sich gleichgewichtiges Wachstum einstellt, müssen die branchenspezifischen Verhältnisse von c, v und m so liegen, dass 

c1' + c2' = w1
und
v1' + v2' = w2, 

was bedeutet, dass
 (c1 + c2) (1 + g) = w1
und 
 (v1 + v2) (1 + g) = w2.

Die folgenden Zeichnungen sollen die Allokation der Produktions- und Konsummittel in zwei Schritten illustrieren: Der erste Prozess zeigt in zwei Bildern die Reallokation der erzeugten Waren in Marx'scher Schreibweise:











































Die obigen Grafiken zeigen in den linken Hälften die ursprüngliche Wertzusammensetzung der Waren zu Beginn und in den rechten Hälften die Situation nach Ende der Allokation nach Abteilungen. Die gelb eingefärbten Rechtecke symbolisieren Zukäufe aus der jeweils anderen Abteilung in festgelegter Höhe.

Der zweite Prozess ist der Produktionsprozess, der aus den vorhandenen Produktions- und Konsumtionsmitteln (W) mittels Arbeit mehr neue Waren (W') herstellt:


























In Kombination ergeben die beiden Prozesse folgendes Bild. Die Situation rechts außen stellt eine neue Ausgangssituation dar, von der aus die erweiterte Reproduktion erneut vor sich geht.


























Betrachten wir die quantitativen Verhältnisse einer Periode eines kompletten erweiterten Reproduktionsprozesses W ? G ? W ? W', folgt, dass die Werte des konstanten und variablen Kapitals nicht beliebig gewählt werden dürfen, sondern schon von vornherein Einschränkungen unterliegen. Daraus wird aber auch ersichtlich, dass die beiden Sektoren mehr oder weniger symmetrisch sind und es bei Annahme einer konstanten Technologie keine Priorität des Produktionsmittelsektors gibt (wie noch bei Marx und dann in der SU angenommen). 

Die obigen Gleichungen lassen sich in alle Richtungen umformulieren, um die Beziehungen zwischen den Komponenten der verschiedenen Abteilungen explizit zu machen:
c1' + c2'  = w1 = (c1 + c2) (1+g) = c1 + v1 + m1  =>  c1 g  + c2 (1+g) = v1 + m1 
= n1 (neu geschaffener Wert)
und
v1' + v2' = w2 = (v1 + v2) (1+g) = c2 + v2 + m2  =>  v1 (1+g) + v2 g = c2 + m2.

Daraus ergibt sich, dass bei einem Ausbeutungsgrad e = m/v (wodurch m1 und m2 eliminiert werden können) nur jeweils zwei Variablen aus den vier (c1, c2, v1, v2) frei gewählt werden können, die anderen sind  schon festgelegt. 

Wählen wir z.B. c1 und c2 frei, ergeben sich mit 

m1 = e1 v1 
und 
m2 = e2 v2 

(1 + e) v1 = g c1 + (1 + g) c2 
und
(e - g ) v2 = (1 + g) v1 ? c2

Die zweite Gleichung macht deutlich, dass c2 im Vergleich zu v1 nicht zu groß werden darf, sonst könnte sich ein negatives v2 ergeben, was sinnlos wäre.

Auflösen nach v1 bzw. nach v2 ergibt folgende zwei Gleichungen

v1 = [g c1 + (1 + g) c2] / (1 + e)
und
v2 =  [(1 + g) v1 ? c2] / (e ? g) =
v2 =  {(1 + g) [g c1 + (1 + g) c2] / (1 + e) ? c2} / (e ? g) =
v2 = {(1 + g) [g c1 + (1 + g) c2 ? (1 + e) c2] / (1 + e)} / (e ? g) =
v2 = (1 + g) / (1 + e) [g c1 + (g ? e) c2] / (e ? g)

Wählen wir als Alternative z.B. c1 und v1 frei, ergeben sich mit 
m1 = e1 v1 und m2 = e2 v2 
c2 und v2 als Funktionen von c1 und v1 wie folgt:

 c2 = (v1 + e1 v1 -  c1 g) / (1+g)
 c2 = [v1 (1 + e1) -  c1 g] / (1+g)
und 
v2 g - e2 v2= c2 - v1 (1+g)
v2 (g ? e2) = [v1 (1 + e1) - c1 g] / (1+g) - v1 (1+g)
v2 (g ? e2) = v1 [(1 + e1) / (1+g) ? (1+g)] - c1 g / (1+g) 
v2 (g ? e2) = v1 [(1 + e1) ? (1+2 g+g g )]/(1+g) - c1 g / (1+g)=
v2 = {v1 [e1 ? 2 g ? gg] - c1 g} / (1+g) / (g ? e2)

Numerisches Beispiel:

Gegeben sind die Ausbeutungsrate e=1 und das Wirtschaftswachstum g=10%, der konstante Kapitalvorschuss in der Produktionsmittel- und Konsummittelabteilung, c1 bzw. c2. Mit der obigen Variante für die Berechnung von v1 bzw. v2 erhält man folgendes Schema der Ausgangssituation (links unten). Nach der geldvermittelten Umschichtung der Waren durch Kauf und Verkauf erhält man die Ausgangssituation für die nächste Produktionsperiode (rechts unten)

                           W                 -                       G                       -                W



Durch Kombination von Waren mit Arbeitskraft werden ohne Geldverwendung neue Waren W' hergestellt, deren Wertzusammensetzung die folgende Tabelle abbildet:

			W                                 -                                          W'


Wie nachprüfbar ist, hat auf diese Weise ein gleichgewichtiges Wachstum um 10% stattgefunden. 


Was kosten die Kredite?

Unter der Annahme, dass für die volle Höhe der jeweiligen Käufe eines Sektors vom anderen Kredite aufgenommen werden (in Wirklichkeit würde nur Kredit in der Höhe des Größeren der beiden Käufe aufgenommen werden müssen), fallen für die Produktions- und Realisierungszeit Zinsen z an, und zwar bei einem Zinssatz i 
für Abteilung 1 
 z1 = i * v1' = (1+g)*i*v1, 
für Abteilung 2 
z2 = i * c2' = (1+g)*i*c2.

Diese Zahlungen reduzieren den Mehrwert, der in der jeweiligen Abteilung als Gewinn verbleibt. Anstelle von m1' verbleiben als Gewinne nur noch m1' ? i v1', bzw m2' -  i c2'.
Der Bankensektor erhält z1 + z2 an Zahlungen aus dem Mehrwert m1' bzw. m2' und die Kreditsumme selbst (nach der Realisierung der Waren von Abteilung 1 und 2 über den Markt).

Nehmen wir an, dass der Bankensektor als konstantes Kapital c3' und als variables Kapital v3' einsetzt (das zu Beginn der Produktionsperiode schon vorhanden sein muss, sonst kann er keinen Kredit vergeben), bleibt ihm ein Gewinn von 

m3' = i (v1' + c2') ? c3' ? v3'.




























Das obige Schema zeigt den Aufwand für Zinsen, der jeweils als Anteil des Mehrwerts an die Bank abgetreten werden muss. In der Sprechblase wird dieser Anteil in die nötigen Produktionsmittel und Konsummittel für die Bank je nach Herkunftsabteilung und in den zurechenbaren Gewinn unterteilt. Zeichnen wir das Schema nun mit einer dritten Abteilung, dem Kreditsektor, wird klar, dass c3' und v3' bereits Bestandteil der Produktion der vorigen Periode hätten sein müssen, also 


w1 = c1' + c2' + c3'  und w2 = v1'+ v2' + v3'

























Dann können aber die vorher berechneten Werte v' und c' nicht korrekt berechnet worden sein (außer für c3' und v3' = 0), da ja galt:

w1 = c1' + c2'  und  w2 = v1' + v2'.

Die Rechnung muss daher ab dem Auftreten von Elementen des Bankensektors neu durchgeführt werden. 

Wir nehmen fixe Werte für das konstante und variable Kapital im Bankensektor an. c3' stammt aus Abteilung I, v3' aus Abteilung II.

Die Ausgangssituation kann so bleiben wie zuvor, da zu diesem Zeitpunkt noch keine Banken existierten. Alle potentiellen Waren sind in ihren Herkunftsabteilungen versammelt. Geld steht keines zur Verfügung. Die Gründung einer Bank ? eine neue Institution in unserem Schema ? müsste so erfolgen, dass zu Beginn des Zyklus von Abteilung I c3' und von Abteilung II v3' an Produktions- bzw. Konsummitteln stofflich zur Verfügung gestellt werden. Dadurch werden gegenüber der ersten Fassung der Rechnung die gestrichenen Werte der beiden Abteilungen kleiner sein. Es ist mir klar, dass dieser Kraftakt nicht besonders elegant ist, aber wenn noch kein Geld zur Verfügung steht, das erst die Bank schöpfen soll, kann dieses Henne-Ei Problem hypothetisch nicht besser gelöst werden als über eine Vereinbarung der Kapitalisten der beiden Abteilungen, gemeinsam eine Bank zu gründen und die entsprechenden Mittel dazu stofflich zur Verfügung zu stellen.

Mit den Ausgangsgleichungen für die stoffliche Zusammensetzung der Kapitalvorschüsse zu Beginn der Produktion 

w1 = c1' + c2' + c3'   und   w2 = v1'+ v2' + v3',

einer angenommenen Wachstumsrate von g und einem Ausbeutungsgrad e erhalten wir 

 (c1 + c2) (1+g) + c3' = c1 + v1 + m1  =>  c1 g  + c2 (1+g) + c3' = v1 + e v1 

und

v1' + v2' + v3' = w2 = (v1 + v2) (1+g) + v3' = c2 + v2 + m2  =>  
(1+g) v1 + g v2 + v3' = c2 + e v2.

Nehmen wir c3' und v3' und g als gegeben an, lassen sich genau wie vorher nur zwei Variablen der vier (c1, c2, v1, v2) unabhängig voneinander festlegen. Die Werte der anderen zwei folgen aus der Auflösung der Gleichungen nach diesen. 

Wähler wir z.B. c1 und c2 frei, ergeben sich mit 
(1 + e) v1 = g c1 + (1 + g) c2 + c3'
und
(e - g) v2 =  (1 + g) v1 + v3' ? c2.

Die zweite Gleichung macht deutlich, dass c2 im Vergleich zu v1 und v3' nicht zu groß werden darf, sonst könnte sich ein negatives v2 ergeben, was sinnlos wäre.

Auflösen nach v1 bzw. nach v2 ergibt die folgenden beiden Gleichungen

v1 =  [g c1 + (1 + g) c2 + c3'] / (1 + e)
und
v2 =  [(1 + g) * v1 + v3' ? c2 ] / (e ? g) 

Numerisches Beispiel: 
wie oben, aber zusätzlich mit c3' = 10 und v3' = 5 und einem Zinssatz von 30%


                           W                 -                       G                       -                W
		          W                                     -                                 W'




Die Netto-Profitraten, die sich in diesem Beispiel ergeben, sind allerdings nicht gleich, sondern betragen 8%, 26% bzw. 1%, d.h. das Wachstum kann nicht in allen Abteilungen aus den eigenen Profiten finanziert werden. Dieser Mangel soll in der folgenden Rechnung behoben werden.


Die erweiterte Reproduktion in Matrixschreibweise

Um der Schwerfälligkeit der Marx'schen Rechnung aus dem Weg zu gehen, das Reproduktionsproblem in einer allgemeineren Form zu fassen und außerdem die heute zur Verfügung stehenden mathematischen Hilfsmittel der Matrizenrechnung zu verwenden (wodurch sich zusätzliche Einsichten in den Reproduktionsprozess ergeben),   verallgemeinern wir das Marx'sche Schema auf n Abteilungen und stellen auf Matrixschreibweise um. Die Trennung nach Abteilungen wird weniger prominent als im Marx'schen Schema. Jede Branche kann Konsummittel und Produktionsmittel erzeugen. Die einzelnen Branchen lassen sich zu Abteilung I und II zusammenfassen, wenn es gewünscht wird. Die Verflechtung innerhalb einer Abteilung lässt sich genauso präzise darstellen wie die Verflechtung zwischen den Abteilungen. 

Mit 

A ... Matrix der technischen Koeffizienten je Outputeinheit [n x n]
C ... Konsummatrix (analog zur Matrix A) je Outputeinheit [n x n]
w ... Zeilenvektor der branchenspezifischen Arbeitswerte je Ouptuteinheit [1 x n]
v ... Zeilenvektor der lebendigen Arbeit je Outputeinheit [1 x n]
p ... Zeilenvektor der Stückpreise [1 x n]
x ... Spaltenvektor der Outputs [n x 1]
g ... Wachstumsrate der Produktion
r ...  Profitrate

ergibt sich für die Mengen

(A + C) x + g (A + C) x = x

für die Arbeitswerte

w A + v = w

und für die Stückpreise

p (A + C) x + p (A + C) r = p

Nach Vereinfachung ergeben sich zwei Eigenvektorgleichungen

(A + C) x = 1/(1 + g) x = ??x

und 

p (A + C) = 1/(1+r) p = ??x

aus denen gleichzeitig Lösungen für die Preise und Mengen und den Eigenwert 

? = 1/(1+g) = 1/(1+r)

bestimmt werden können. 

p und x müssen die Links- bzw. Rechtseigenvektoren bezüglich des Eigenwerts ??= 1/(1 + g) = 1/(1 + r) der Matrix (A + C) sein. Die Höhe der gleichgewichtigen Wachstumsrate (= der durchschnittlichen Profitrate) hängt von allen technischen und Konsumkoeffizienten gleichzeitig ab. Generell gilt: Je kleiner die Koeffizienten, desto höher das Wachstum bzw. die Profitrate.

Auf der volkswirtschaftlichen Ebene lassen sich die Marx'schen Größen in obiger Notation wie folgt ausdrücken:

c = p A x, 
v = p C x, 
m = p x ? p (A + C) x, 
r = g = m / ( c + v ) = [ p x ? p (A + C) x] / p (A + C) x

Wie lässt sich nun eine Bank in das Modell einfügen? 

Das geht sehr einfach, indem wir einen Banken-Sektor hinzufügen, und zwar, indem der nötige Kapitalvorschuss für die Bank als Bestandteil der Endnachfrage in der Startperiode eingeführt wird, und indem aus dem Mehrwert der folgenden Periode die Zinsen bezahlt werden, die in Summe den Umsatz der Bank ausmachen.

Nicht so einfach ist die Interpretation der so erzeugten Erweiterung in Arbeitswerten. Banken sind offensichtlich eine Branche, die zwar Kosten hat, die in Arbeitswerten ausgedrückt werden können (c3' und v3'), in der aber nicht selbst Wert zur Volkswirtschaft hinzugefügt, sondern verbraucht wird, der in den Abteilungen I und II produziert wurde. Diese Eigenschaft ist im Allgemeinen typisch für Dienstleistungssektoren , in denen zwar Gebrauchswerte hergestellt werden, die aber im Augenblick der Produktion wieder verbraucht werden, und damit im Unterschied zu Waren keine Beständigkeit in der Zeit aufweisen. Deshalb können Dienstleistungssektoren nichts zum Mehrprodukt und damit auch nichts zum Mehrwert beitragen. Die Volkseinkommensrechnung nach Stone, das SNA (System of National Accounts), enthält daher gegenüber der Rechnung nach dem MPS (Material Product System), das in den untergegangenen sozialistischen Ländern üblich war, Doppelzählungen. Wie oben gezeigt, erhalten die Banken für ihre Kredite Zinsen, die einen Abzug vom Mehrwert in Abteilung I und II bedeuten, der ein zweites Mal als weiterer Sektor im Input-Output Schema auftritt. Dadurch wird der Unterschied zwischen den Systemen der Volkswirtschaftlichen Gesamtrechnung deutlich: Während das MPS die Erzeugung von Werten auf stofflich-materieller Grundlage betont, stellt das SNA auf bepreiste Gebrauchswerte ab. In der Sicht des SNA gibt es keinen Unterschied zwischen materiellen Produkten und Dienstleistungen, im MPS System schon. 

Eine Aufgabe kann unter dieser Sicht sofort gestellt werden: Wie sehen die Preise aus, die gleiche Profitraten für alle Sektoren ergeben? Dies würde spezielle Preis- und Mengenrelationen bedeuten, bei denen es für die Kapitalisten keinen Anreiz gibt, die Branche zu wechseln, da dann die sektorspezifischen Profitraten überall gleich hoch und gleich der durchschnittlichen Profitrate wären.


Beispiel:

Unter Verwendung der Marx'schen Originalwerte (Kapital Band 2, S.505ff.) erhalten wir folgendes Schema in gestürzter Schreibweise:




Wir berechnen als erste Abweichung vom Original Produktionspreise p und die Aktivitätsniveaus x der beiden Abteilungen, die gleichgewichtiges Wachstum erlauben, wobei wir die Marx'sche Methode (Kapital Band 3, Neuntes Kapitel: Bildung einer allgemeinen Profitrate (Durchschnittsprofitrate) und Verwandlung der Warenwerte in Produktionspreise. in: MEW Bd 25, S.164ff) iterativ nicht nur auf die relativen Stückpreise, sondern auch auf die Aktivitätsniveaus selbst anwenden (als Invariante nehmen wir die Wertsumme = 9000)

Nach Leontief ergibt sich durch Normierung auf die Outputwerte die Matrix (A+C) zu 


wobei A, die Matrix der technischen Koeffizienten, aus der obigen ersten Zeile und einer zweiten Zeile mit Nullen besteht, und C, die Matrix der Konsumkoeffizienten, aus obiger zweiter Zeile mit einer ersten Zeile aus Nullen. Die Löhne sind noch nicht als Geldlöhne explizit vorhanden, sondern werden von den Unternehmen in Sachmitteln zur Verfügung gestellt. Die Möglichkeit, Geldlöhne zu zahlen, ist schon in dieser Version gegeben. Die Haushalte wirken als vorübergehender Aufenthaltsort des Geldes. Sie geben alles Geld, das sie erhalten, innerhalb eines Jahres für Konsummittel aus. Sparen der Haushalte ist jedoch noch nicht vorgesehen.

Hypothetisch könnten wir bei konstanter Technologie annehmen, dass die Werteinheiten proportional zu den Mengeneinheiten der jeweiligen Abteilung sind und die relativen Preise den Zahlenwert =1 besitzen. 

Durch die Berechnung der Eigenvektoren und des Eigenwerts aus der Matrix (A+C) erhalten wir die Größenverhältnisse für Mengen und Preise, die eine gleichgewichtige erweiterte Reproduktion der Wirtschaft ergeben (natürlich nur unter den Voraussetzungen, dass immer die nötigen Arbeitskräfte vorhanden sind und dass die Natur nicht an ihre Grenzen stößt).

Iteration2 ergibt den Rechtseigenvektor x (für die Mengenverhältnisse) und den Linkseigenvektor p (für die relativen Stückpreise) und den zugehörigen Eigenwert ? der Matrix (A+C),

? = 1/(1+g) = 1/(1+r),

der in diesem Fall sowohl das Mengenwachstum g als auch die Profitrate r bestimmt.



Das Schema mit Produktionspreisen (modifizierten Arbeitswerten) ergibt sich bei gleicher Wertsumme zu



Dieses Schema erlaubt eine gleichgewichtig erweiterte Reproduktion mit einer Wachstumsrate g von 22,7998 % und einer ebenso hohen Profitrate r. 

Fügen wir einen Bankensektor hinzu (dessen Kapital ein bestimmter Anteil ? an den gesamten erzeugten Mengen x sein soll, in diesem Fall 5%) und schreiben das Schema zu hypothetischen Mengeneinheiten an, erhalten wir:


Die ersten beiden Reihen geben die Vorleistungsverflechtungsmatrix wieder, die zweiten beiden Reihen enthalten die zur Erweiterung der Produktion notwendigen Produktionsmittel (erste Zeile) und Konsummittel (zweite Zeile). Spalte 5 enthält das physische Kapital, das für die Tätigkeit der Bank notwendig ist. Die letzte Spalte enthält die Zeilensumme, die gleich den Outputmengen x ist. 

Nun weicht  die mögliche gleichgewichtige Wachstumsrate g von der Profitrate r ab, da der Bankensektor einen Anteil der Produktion x als konstantes Kapital einsetzt. Obwohl einerseits die Bank die monetären Transaktionen erst ermöglicht, ist dies nicht gratis zu haben. Das maximal mögliche Wachstum wird reduziert. Die Wachstumsrate g ist bei positivem Kapitaleinsatz in der Bank (?????? immer kleiner als die Profitrate r. 

g = (1+r)(1 ? ?) ? 1 = 1 + r ? ? ? r ? ? 1 = r ? ? ? r??.

Das gesamte Kapital liegt in obiger Darstellung in Warenform vor, wir stehen am Beginn eines Kapitalumschlags. Für die Aneignung der Waren in einer Zusammensetzung, die den Produktionserfordernissen entspricht, müssen Teile des Warenkapitals ihre Besitzer wechseln (Reallokation). Der Besitzwechsel wird über Geld vermittelt, das durch Kredite der Bank zur Verfügung gestellt wird. Der Einfachheit halber nehmen wir großzügig an, dass Kredite in der Höhe der gesamten Wertsumme der einzelnen Abteilungen vergeben werden, p diag(x)3. Für die Kredite müssen am Ende der Produktion aus dem gesamten produzierten Mehrwert Zinsen in der Höhe von i p diag(x) bezahlt werden. Die Summe aller Zinszahlungen i p x soll so hoch sein, dass sie den Kapitalvorschuss finanziert und außerdem für die Bank eine Profitrate pi abwirft, die ebenso hoch ist wie in den Abteilungen I und II. Mit einem Bankprofit von (i p x  ? ? p x) ergibt sich eine Bankprofitrate pb von 
pb = (i p x ? ? p x) / (? p x) = (i - ?? / ? .

Sie soll gleich den Industrieprofitraten der einzelnen Abteilungen sein. Sie lassen sich aus den Industrieprofiten berechnen, die sich aus dem Mehrwert
r (1+g) p(A+C)diag(x)
nach Abzug der Zinszahlungen
i p diag(x)
zu
Industrieprofitvektor = r (1+g) p(A+C)diag(x) - i p diag(x) = [r(1+g)/(1+r) ? i] pdiag(x),

da p(A+C) wegen p(A+C) (1+r) = p nichts anderes als der mit dem Eigenwert multiplizierte Linkseigenvektor der Produktionspreise ist. Bei einem sektoriellen Kapitalvorschuss von 

(1+g) p(A+C)diag(x) = (1+g)/(1+r) pdiag(x)

erhalten wir für die industriellen Profitraten pi

pi = [r(1+g)/(1+r) ? i]/[(1+g)/(1+r)].

Da wir vorausgesetzt haben, dass die Industrieprofitraten und die Bankprofitrate gleich sein sollen, ergibt sich aus 

pi = [r(1+g)/(1+r) ? i]/[(1+g)/(1+r)] = (i - ?? / ? = pb

der Zinssatz i
i = ?(1+g)(1+r)/[1+g) + ?(1+r)].

Aus dieser Gleichung kann die Wachstumsrate eliminiert werden, wenn die Beziehung zwischen Wachstumsrate, Profitrate und Bankanteil eingesetzt wird

g = pi = pb = r ? ??1+r).

Daraus ergibt sich eine einfache Formel zur Berechnung des Zinssatzes i4

i = ?(1-?)(1+r)

In den Zahlenwerten des Beispiels wird mit ??= 5% und r = 22,7998

g =  pi = pb = 16,6598% und i = 5,83299%.

Nach Reallokation, aber vor der Produktion, erhalten wir folgende Input-Output-Tafel mit Werten der Dimension [Preise mal Mengen], in die wir den Bankensektor als dritte Spalte integrieren:



Durch Kombination der Produktions- und Lebensmittel mit lebendiger Arbeit (diesmal sind es um den Faktor (1+g) mehr Arbeitskräfte als in der vorigen Periode), also durch den Produktionsvorgang, wird neuer potentieller Wert erzeugt bzw. alter übertragen. Der erzielbare Gesamtprofit bezieht sich auf eine um den Faktor (1+g) gewachsene Wirtschaft. Da die Zinszahlungen ebenfalls proportional zum vorgeschossenen Kapital angenommen wurden, bleiben die Industrieprofitraten gleich. Bei dem oben errechneten Zinssatz ergibt sich auch im Bankensektor eine Bankprofitrate von 0,166598 Prozent. Die Gewinn- und Outputsituation sieht im Input-Output Schema wie folgt aus:



Die Bank kann nun - wie alle anderen Abteilungen - ihr konstantes und variables Kapital nicht nur reproduzieren, sondern im Ausmaß der Industrieprofitrate pi = Bankprofitrate pb = Wachstumsrate g erweitern.




Wie weiter?

Exkurs ins Geld:

Hier soll gezeigt werden, wie die Käufe und Verkäufe finanziert werden können, bzw. wieviel Kredit man braucht, um sowohl die Re-Allokation der Produktionsmittel von den Herstellern der Produktionsmittel zu ihren Nutzern (den produzierenden Unternehmen) als auch die Realisierung des Mehrprodukts zu bewerkstelligen, das von den produzierenden Unternehmen zusätzlich erzeugt wird.

Der nächste größere Schritt soll auf der Ebene der Wirtschaftssubjekte erfolgen, also Unternehmen sollen individuell abgebildet werden, die miteinander Handel treiben und Investitionsgüter kaufen, und Haushalte, die Konsumgüter kaufen und die Arbeitskraft verkaufen. Sie sollen auf der Simulationsebene Akteurtypen darstellen, deren Struktur immer gleich ist, deren individuelle Ausprägungen aber quantitativ unterschiedlich sein können.
